Что требует программа
Программа экзамена за гимназию называет основные единицы семи величин — длины, площади, объёма, ёмкости, массы, времени и денег — и требует их преобразований. Тему проходят в V классе, а на экзамене она чаще всего прячется внутри другой задачи, обычно на объём: в схеме проверки 2022 года преобразование единиц объёма было отдельным шагом за 1 балл.
Что значит измерить
Измерение отвечает на вопрос: сколько раз выбранная единица укладывается в данной величине? Один и тот же отрезок равен 15 см и 1,5 дм: число меняется вместе с единицей, а длина остаётся прежней.
Длина
Основная единица — метр. Приставка показывает, во сколько раз единица больше или меньше метра: кило- — в 1000 раз больше, деци- — в 10 раз меньше, санти- — в 100 раз меньше, милли- — в 1000 раз меньше.
- 1 км = 1000 м
- 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
Из образцов учебника видно правило: при переходе к более мелкой единице число растёт, поэтому его умножают на 10, 100 или 1000; при переходе к более крупной оно уменьшается, поэтому его делят на 10, 100 или 1000, а это то же самое, что умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. Например, 2,345 км =2,345⋅1000 м =2345 м, а обратно 2345 м =2345:1000 км =2345⋅0,001 км =2,345 км.
Площадь
Основная единица — квадратный метр, то есть площадь квадрата со стороной 1 м. Между соседними единицами мм², см², дм² и м² шаг равен 102=100, а не 10: у квадрата умножаются обе стороны. Поэтому 1 дм² = 100 см², 1 м² = 10 000 см², а от м² к км² шаг равен 10002, то есть 1 км² = 1 000 000 м².
Земельные участки измеряют в арах и гектарах. Квадрат со стороной 10 м имеет площадь 10⋅10=100 м², то есть ровно один ар. Ар — сотая часть гектара, поэтому в разговорной речи его называют соткой: сотка, которую называет программа экзамена, — это и есть ар.
- 1 ар = 100 м²; 1 га = 100 ар = 10 000 м²
- 1 км² = 100 га
Объём и ёмкость
Основная единица объёма — кубический метр. Между мм³, см³, дм³ и м³ шаг равен 103=1000: 1 дм³ = 1000 см³, а 1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³. Ёмкость показывает, сколько вмещает сосуд, то есть каков объём пустоты внутри него, поэтому литр напрямую связан с объёмом: 1 л = 1 дм³ и 1 л = 1000 мл. Отсюда 1 мл = 1 см³ и 1 м³ = 1000 л. Для сосуда в форме прямоугольного параллелепипеда (кубоида) перемножают длину, ширину и высоту, записанные в одних единицах.
Масса
Основная единица — килограмм. Шаг каждый раз равен 1000: 1 т = 1000 кг, 1 кг = 1000 г, 1 г = 1000 мг. Литр дистиллированной воды при 4 °C имеет массу около 1 кг.
Время
Основная единица — секунда, но здесь переводы идут не через десять:
- 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин = 3600 с; 1 сутки = 24 ч; 1 неделя = 7 суток
- 1 год = 12 месяцев; 1 десятилетие = 10 лет; 1 век (столетие) = 10 десятилетий = 100 лет; 1 тысячелетие = 10 веков
Поэтому 1,5 ч — это 1 ч 30 мин. В високосном году в феврале 29 дней, а номер года делится на 4.
Деньги
Лей состоит из 100 банов, поэтому 2 лея 35 банов = 2,35 лея. Доллар США и евро делятся на 100 центов. Банк меняет валюту по своему курсу: если продать ему валюту, леи выдают по курсу покупки (сумма в валюте, умноженная на курс); если купить валюту за леи, платят по курсу продажи.
Шаги, коротко
| Величина | Основная единица | Шаг между соседними единицами |
|---|
| длина | м | 10; от м к км: 1000 |
| площадь | м² | 100; 1 га = 100 ар, 1 ар = 100 м² |
| объём | м³ | 1000; 1 л = 1 дм³ |
| ёмкость | л | 1 л = 1000 мл |
| масса | кг | 1000 |
| время | с | 60 (с → мин), 60 (мин → ч), 24 (ч → сутки), 7 (сутки → неделя); 12 (месяц → год); 10 (год → десятилетие → век → тысячелетие) |
Перед вычислением
Величины в одном действии записывают в одних единицах: отношение, площадь прямоугольника (длина, умноженная на ширину) или объём, посчитанный из смеси сантиметров и метров, дают бессмысленное число. Сразу выбери единицу, в которой нужен ответ, и переведи в неё всё остальное.
