Что требует программа
Программа экзамена за гимназию называет в этой теме три типа задач на проценты: нахождение процентов от числа, нахождение числа по заданным процентам и нахождение процентного отношения. Рядом с ними стоит среднее арифметическое, а в той же области программа требует и задачи на концентрацию раствора. Проценты проходят в VI классе, в главе «Отношения и пропорции», и повторяют в IX классе, в элементах финансовой математики.
Что значит p%
Запись p% заменяет отношение 100p, а такое отношение называют процентным. 1% — это 1001 величины, одна её сотая. Вся величина — это 100%, то есть 1. Когда нужна более точная мера, вместо сотых долей берут тысячные: тысячная доля называется промилле и обозначается 1 ‰, а 1 ‰ =0,1%.
Проценты, дроби, десятичные числа
Чтобы перейти от процента к дроби, запиши знаменатель 100 и сократи. В обратную сторону отношение или десятичное число становится процентами, если умножить его на 100%.
| Процент | Дробь | Десятичное |
|---|
| 25% | 41 | 0,25 |
| 40% | 52 |
Три типа задач
Учебник IX класса сводит их к трём формулам. Буквы взяты из учебника, поэтому смотри, что обозначает каждая:
| Что найти | Формула |
|---|
| p% от числа n | m=100p⋅n |
| число n, если p% от него равны m |
Например, если 12 девочек составляют 48% учеников класса, то по второй формуле в классе 48100⋅12=25 учеников.
В третьем типе число после «от» — это целое, оно стоит в знаменателе. Если какой-то величины в условии нет, например оставшейся части, сначала найди её вычитанием.
Без формул: простое правило трёх
Учебник VI класса решает задачи на проценты и без формул, простым правилом трёх. В одной строке пишешь целое напротив 100%, во второй — часть напротив её процента, затем находишь неизвестное из пропорции. Например, в классе 35 учеников, 60% из них мальчики, значит, девочки составляют 100%−60%=40%, а из x35=40100 получается девочек. Второй путь — приведение к единице: если дохода — это леев, то — это леев, а весь доход в раз больше.
Рост и снижение
Когда величина растёт на p%, новое значение составляет (100+p)% от старого: его умножают на 1+100p. Так в учебнике IX класса растёт вклад в банке за год: сумма S0 становится Цена с НДС равна Когда величина падает на от неё остаётся и её умножают на после снижения на от остаётся
Если изменения идут одно за другим, каждый процент берут от значения на тот момент, а не от начального, поэтому множители перемножаются. Снижение на 10%, а затем на 20% оставляет 0,9⋅0,8=0,72 от начальной цены, то есть общее снижение 28%, а не 30%. Прежнюю цену находят делением на множитель: в учебнике IX класса итоговой цене 207 леев после этих двух снижений соответствует начальная цена 287,5 лея.
Концентрация
Концентрация показывает, какую долю массы раствора m составляет растворённое вещество m1: C=mm1. Умножив это отношение на 100%, получишь концентрацию в процентах.
Среднее арифметическое
Для двух чисел a и b среднее равно 2a+b: их сумма, делённая на 2. Для n чисел их складывают и делят сумму на n, то есть на количество чисел. Отрицательные числа входят в сумму со своим знаком, а ноль считается слагаемым: в учебнике VI класса среднюю температуру за 10 дней считают по всем десяти значениям, среди которых и Из определения следует и обратный ход: сумма равна среднему, умноженному на число слагаемых, а отсюда находят недостающее слагаемое.
