Функция I степени, пропорциональность и функция радикал
Функция I степени и постоянная функция, прямая и обратная пропорциональность, функция радикал: график, нуль, знак, монотонность, угловой коэффициент. Здесь свойства из учебников и то, как читать их по готовому графику.
Область ФУНКЦИИ
- Функция I степени. Постоянная функция. Графики. Свойства (монотонность, знак функции, нуль функции, угловой коэффициент прямой).
- Прямая пропорциональность. График. Свойства.
- Функция вида
f: ℝ∗ → ℝ∗, f(x) = k/x, k ∈ ℝ∗
Свойства функции (область определения, знак).
- Функция:
f: ℝ₊ → ℝ₊, f(x) = √x.
Свойства функции (область определения, знак).
Что требует программа В теме четыре функции: функция I степени вместе с постоянной функцией, прямая пропорциональность, функция f(x)=xk и функция радикал f(x)=x. Для функции I степени и постоянной функции программа требует график и четыре свойства: монотонность, знак, нуль функции и угловой коэффициент прямой. Для прямой пропорциональности — график и свойства, без перечня. Для двух последних функций — область определения и знак.
Функция I степени и постоянная функция Функция I степени имеет вид f(x)=ax+b и задана на R;a и b — действительные числа, причём a=0. Если слагаемого с x нет и остаётся функция постоянная: при любом её значение одно и то же.
У любой функции I степени график — прямая. У постоянной функции эта прямая горизонтальна, параллельна оси Ox, а при f(x)=0 совпадает с осью Ox.
График и его точки График функции состоит из точек (x;f(x)). Отсюда правило, на котором держится много задач: точка M(x0;y0) лежит на графике ровно тогда, когда f(x0)=y0. Из этого равенства находят неизвестный коэффициент, например параметр
Как построить график Прямую задают две точки, поэтому в таблице значений хватит двух столбцов. Удобнее всего взять точки пересечения с осями:
с осью Oy — точка (0;b), потому что f(0)=b;
с осью Ox — точка (x0;0), где x0 — нуль функции.
Нуль функции Нуль функции f — такое x, в котором значение функции обращается в 0. Для функции I степени его находят из уравнения ax+b=0:x0=−ab. Число является нулём функции тогда и только тогда, когда точка лежит на графике, поэтому на рисунке нуль виден там, где прямая пересекает ось
Монотонность и угловой коэффициент Строго возрастает — значит, из x1<x2 следует f(x1)<f(x2); строго убывает — из следует У всё решает число при функция строго возрастает на при строго убывает, при постоянна.
На рисунке это видно прямо из определения. Если функция строго возрастает, то из двух точек графика правая лежит выше, поэтому прямая слева направо поднимается; если строго убывает — опускается:
Коэффициент
Функция
Прямая слева направо
a>0
строго возрастает на R
поднимается
a<0
строго убывает на R
опускается
a=0
постоянна
горизонтальна
Число a учебник зовёт угловым коэффициентом прямой. На готовом рисунке знак a видно по направлению прямой, а b читается на оси Oy.
Знак функции Функция I степени положительна там, где ax+b>0, и отрицательна там, где ax+b<0, так что знак находят решением неравенства I степени. Пример из учебника IX класса: у f(x)=3x+2 нуль равен −32, функция отрицательна на и положительна на При делении неравенства на отрицательное знак неравенства меняется на противоположный.
Прямая пропорциональность При b=0 функция I степени превращается в f(x)=ax,a=0: это прямая пропорциональность, а a — её коэффициент пропорциональности. В учебнике IX класса у неё есть и второе имя — линейная функция. Свойства у неё те же, что у функции I степени, а график — прямая через начало координат O(0;0). Для построения хватит одной точки, кроме начала координат.
Функция f(x)=xk (обратная пропорциональность) Обратная пропорциональность — это функция f(x)=xk, заданная на и принимающая значения в Её область определения — число исключено, на нуль делить нельзя. Её график, гипербола, состоит из двух ветвей и симметричен относительно начала координат:
Ветви
f(x)>0 при
f(x)<0 при
k>0
I и III четверти
x∈(0;+∞)
x∈(−∞;0)
Нулей нет: гипербола не касается ни одной из осей.
Функция радикал Функция радикал — это f(x)=x, заданная на R+, множестве неотрицательных действительных чисел, со значениями тоже в R+. Причина — сам квадратный корень: он существует только для неотрицательного числа, а для отрицательного смысла не имеет. Поэтому область определения — то есть в виде промежутка График — кривая в I четверти, выходящая из начала координат. Единственный нуль — при значения положительны, а на функция строго возрастает.
Если под корнем стоит выражение, например x−3, область определения находят из условия, что это выражение неотрицательно: x−3≥0, то есть x≥3. В учебнике VIII класса то же показано на
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Повторение в начале X класса: определение функции I степени, угловой коэффициент, свойства (нуль, знак, монотонность) и построение графика по таблице на примере — первые восемь минут. Дальше идут задача с параметром и график функции с модулем: модуль в программу экзамена IX класса не входит.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
16 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
