Что требует программа
Программа экзамена за гимназию объединяет в этой теме три вещи: декартову систему координат (оси, начало координат, координатные четверти, абсцисса, ордината, построение точки по координатам и нахождение координат точки), понятие функции с областью определения и областью значений, способы задания функции, а также понятие графика функции; чтение графиков и формул программа называет среди видов деятельности. Программа требует ещё записывать, читать и приводить примеры множества значений и таблицы значений. Тему проходят в VII классе и повторяют в VIII и IX.
Декартова система координат
Две перпендикулярные оси пересекаются в точке O — начале координат. Ось Ox — ось абсцисс, ось Oy — ось ординат. Они делят плоскость на четыре координатные четверти, их нумеруют римскими цифрами от I до IV.
У каждой точки есть упорядоченная пара координат, M(a;b): сначала абсцисса a, потом ордината b. Порядок менять нельзя: (2;5) и (5;2) — две разные точки.
- Построить точку M(a;b): отметь a на Ox и b на Oy, через первую отметку проведи прямую, параллельную Oy, через вторую — параллельную Ox; M — их общая точка.
- координаты нарисованной точки — в обратном порядке: прямая через неё, параллельная даёт абсциссу на прямая, параллельная — ординату на
Четверть узнают по знакам координат:
| Четверть | Абсцисса | Ордината |
|---|
| I | положительная | положительная |
| II | отрицательная | положительная |
| III | отрицательная | отрицательная |
| IV | положительная | отрицательная |
Все точки с одной и той же абсциссой, например 2, образуют прямую, параллельную Oy и проходящую через (2;0).
Понятие функции
Возьмём непустые множества X и Y. Функция f:X→Y (читается «функция f из X в Y») даёт каждому элементу X ровно один элемент Y. У неё три элемента:
- область определения X, обозначается D(f);
- область значений Y;
- правило (закон) соответствия, которое говорит, что получает каждый x.
Для x из области определения пишут y=f(x); x называют аргументом (независимой переменной), а y — значением f при этом x. Все значения вместе образуют множество значений E(f); оно входит в область значений и может быть меньше её. Не путай эти два термина: в учебниках Молдовы «область значений» — это всё множество Y из записи а «множество значений» — только те числа, которые функция действительно принимает. В учебнике VII класса функция ставит каждому слову число букв в нём: область значений а
В определении два условия. Каждый x из области определения получает значение, и только одно; это значение лежит в области значений. Если хотя бы один x остался без значения или получил два, соответствие не является функцией. Область определения бывает конечной и бесконечной, и любая задача о функции начинается с неё.
Способы задания
- Аналитический: формулой, например f:R→R, f(x)=2x−1.
- Синтетический: таблицей значений, диаграммой со стрелками или графиком. Обычно его берут, когда в области определения мало элементов. Диаграмма задаёт функцию, если из каждого элемента области определения выходит ровно одна стрелка.
- Словесный: соответствие описано словами.
График функции
Если область определения и область значений — множества чисел, функция числовая, и у неё есть график Gf: множество всех точек (x;f(x)) с x∈D(f). Соотношение y=f(x) — уравнение графика. Отсюда рабочее правило: точка лежит на графике ровно тогда, когда принадлежит области определения и
Рисунок — график функции, только если каждой абсциссе соответствует не больше одной его точки. Если прямая, параллельная Oy, пересекает рисунок в двух точках, это не график функции; поэтому окружность не может быть графиком функции.
Чтение графика
- Значение в точке. Чтобы найти f(x0), иди от x0 на оси Ox по вертикали до графика и прочитай ординату найденной точки.
- Аргумент по значению. Чтобы решить f(x)=c, иди от c на оси по горизонтали до графика и прочитай абсциссы найденных точек; их может быть несколько.
