Что требует программа
Тема собирает основы планиметрии, которые проходят в VII классе: точку, прямую и плоскость, отрезок и полупрямую, углы и вычисления с их величинами в градусах, минутах и секундах, параллельные прямые с признаками параллельности, перпендикулярные прямые и симметрию относительно точки и прямой.
Точка, прямая, плоскость
Точке, прямой и плоскости определения не дают. Точки обозначают прописными латинскими буквами (A, B), прямые — строчными (a, d) или двумя прописными (AB), плоскости — греческими буквами (α, β). Через две различные точки проходит единственная прямая. Точки одной прямой называются коллинеарными.
Полупрямая, отрезок, расстояние
- Точка O прямой делит её на две полупрямые с началом O. В записи [OA первая буква — начало.
- Две полупрямые с общим началом, вместе образующие прямую, называются противоположными.
- Отрезок [AB] состоит из точек прямой, лежащих между A и B — его концами. Отрезки одинаковой длины конгруэнтны.
- Расстояние между A и B — длина отрезка AB, обозначение Свойства:
Угол и виды углов
Угол — фигура из двух полупрямых с общим началом: полупрямые — стороны угла, начало — вершина. По величине:
| Угол | Величина |
|---|
| нулевой | 0∘ |
| острый | меньше 90∘ |
| прямой | 90∘ |
| тупой | больше 90∘ и меньше 180∘ |
Углы одинаковой величины конгруэнтны. Биссектриса выходит из вершины, проходит внутри угла и делит его на два конгруэнтных угла.
Пары углов
В молдавском учебнике на русском языке названия такие:
- смежные: общая вершина и общая сторона, лежащая между двумя другими сторонами;
- дополнительные до 90∘: сумма величин равна 90∘;
- дополнительные до 180∘: сумма величин равна 180∘;
- вертикальные: общая вершина, а стороны одного угла — продолжения сторон другого за вершину. Величины вертикальных углов всегда равны.
Смежность сама по себе о сумме ничего не говорит. Если же несовпадающие стороны смежных углов лежат на одной прямой, вместе эти углы составляют развёрнутый угол в 180∘, то есть они смежные и дополнительные до 180∘. Учебник применяет это правило, например, к AOB и BOD при коллинеарных A, O, D: В русской программе экзамена эти пары названы «смежные дополнительные до и «смежные дополнительные до
Градусы, минуты, секунды
1∘=60′ и 1′=60′′. При вычитании, если минут не хватает, один градус переводят в минуты: 90∘−25∘40′=89∘60′−25∘40′=64∘20′. При сложении каждые дают градус.
Параллельные прямые
Прямые одной плоскости, которые нигде не пересекаются, параллельны (a∥b); совпадающие прямые учебник тоже считает параллельными. Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома Евклида). Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Секущая пересекает две компланарные прямые и образует с ними 8 углов, которые объединяют в пары: внутренние накрест лежащие, внешние накрест лежащие, внутренние односторонние, внешние односторонние и соответственные (на рисунке они пронумерованы). Прямые параллельны, если с секущей они образуют:
- конгруэнтные внутренние или внешние накрест лежащие углы;
- конгруэнтные соответственные углы;
- внутренние или внешние односторонние углы, дополнительные до 180∘.
Обратные утверждения тоже теоремы: у параллельных прямых все эти соотношения выполняются. Поэтому по одному данному углу остальные находят через конгруэнтность или дополнение до 180∘.
Перпендикулярные прямые
Пересекающиеся прямые перпендикулярны (a⊥b), когда один из углов между ними прямой. Через любую точку, на прямой или вне её, проходит единственная прямая, перпендикулярная данной. Если перпендикуляр из O к прямой a пересекает её в точке A, то A — основание перпендикуляра, то есть ортогональная проекция точки O на a; прямая через O и другую точку прямой a — наклонная. Расстояние от до — длина то есть его измеряют по перпендикуляру.
Симметрия
- Относительно точки: A и A1 симметричны относительно O, если O — середина отрезка AA1. Относительно начала координат точке A(x,y) симметрична точка Если фигура совпадает со своей симметрией относительно то — её центр симметрии; у окружности это её центр.
