Квадратный корень: свойства, множитель под корнем, иррациональность
Квадратный корень на экзамене за гимназию: определение, округление, свойства, множитель под корнем и знаменатель без корня. Здесь правила из учебника с примерами вычислений и ошибками, на которых теряют баллы.
Множество действительных чисел
- Квадратный корень. Извлечение квадратного корня. Нахождение приближенного значения квадратного корня, используя округления.
- Свойства квадратного корня.
- Внесение множителя под знак корня. Вынесение множителя из под знака корня.
[…]
- Избавление от иррациональности в знаменателях вида a√b, a ± √b.
Что требует программа По этой теме программа экзамена за гимназию требует четырёх умений: извлекать квадратный корень и находить его приближённое значение округлением, знать свойства корня, вносить множитель под знак корня и выносить множитель из-под знака корня, избавляться от иррациональности в знаменателях вида ab и a±b.
Что означает квадратный корень Для числа a≥0 запись a означает такое число b≥0, квадрат которого равен a. В записи a=b знак называют знаком корня, или радикалом, а — значением корня. Например, потому что и Из определения следуют два условия:
корень не бывает отрицательным: 9=3, а не −3; отрицательное число не является квадратным корнем ни из какого числа;
под корнем не может стоять отрицательное число: у отрицательного числа нет действительного квадратного корня, поэтому 2x−1 имеет смысл только при
Из каждого неотрицательного числа корень извлекается, и ответ всегда один.
Приближённое значение Многие корни — не целые числа: 3=1,7320508…. Их округляют по обычному правилу: цифра, на которой останавливаются, не меняется, если справа стоит 0, 1, 2, 3 или 4, и увеличивается на 1, если справа 5, 6, 7, 8 или 9. Так получают 3≈1,73 и а примерно равен до целых и до сотых.
Из двух неотрицательных чисел у большего и корень больше: если a>b≥0, то a>b. Поэтому, чтобы понять, между какими целыми числами лежит корень, ищут соседние квадраты: значит, В учебнике так же оценивают значит,
Свойства
Свойство
Когда применяется
(a)2=a
a≥0
a2=∣a∣
Правилом произведения можно пользоваться и тогда, когда множителей три, четыре или больше (все неотрицательные), причём в обе стороны: 36⋅25=36⋅25=6⋅5=30. Модуль в важен, когда число под квадратом отрицательное: ведь
Вынесение множителя из-под знака корня При b≥0:a2b=∣a∣b. Число под корнем записывают произведением, в котором один множитель — точный квадрат, и удобно брать квадрат побольше: С меньшим квадратом, а из ещё выносится Числа и с одним и тем же числом под корнем — подобные корни. Их приводят по дистрибутивности умножения, прочитанной справа налево: Поэтому, прежде чем складывать корни, выносят множители и только потом приводят подобные.
Внесение множителя под знак корня При b≥0:ab=a2b, если и если Минус остаётся перед корнем: Так можно сравнить числа, записанные с корнями: оба приводят к виду и сравнивают подкоренные числа, ведь у большего числа и корень больше. В учебнике
Избавление от иррациональности в знаменателе Это преобразование, после которого в знаменателе не остаётся корней. Случаев два:
в знаменателе ab: числитель и знаменатель умножают на b, как в 3714=3⋅7147=327;
Порядок действий В выражении корни извлекают вместе с возведением в степень, раньше умножения и деления; сложение и вычитание выполняют последними. То, что в скобках, вычисляют первым.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Фрагмент с 10-й минуты, около шести минут, из подготовки к экзамену IX класса: выражение с квадратом разности и вынесением множителя из-под знака корня, затем разность дробей с корнями в знаменателе, где помогает сопряжённое выражение.
О чём: Определение квадратного корня и его свойства: корень из квадрата числа равен модулю, корень из произведения и корень из дроби, с примерами вычислений. Свойство корня из степени с показателем 2n выходит за рамки программы.
О чём: Избавление от иррациональности в знаменателе: умножение на корень, когда в знаменателе произведение, и на сопряжённое выражение, когда в знаменателе сумма или разность с корнем. В примерах есть выражения с переменной.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
17 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
a
b
49=7,
7≥0
72=49.
2x−1≥0.
5≈2,24,
10
3
3,16
9<10<16,
3<10<4.
3:
12<3<22,
1<3<2.
любое действительное a
a⋅b=ab
a≥0,b≥0
ba=ba
a≥0,b>0
a2=∣a∣
(7−3)2=∣7−3∣=3−7,
7<3.
72=36⋅2=62.
72=4⋅18=218,
18=9⋅2
3.
ab
cb
27+57=(2+5)7=77.
a≥0,
ab=−a2b,
a<0.
−32=−18.
c
553=25⋅53=15.
в знаменателе a±b: умножают на сопряжённое выражение. Выражения a+b и a−b при b>0 сопряжённые, и при умножении друг на друга дают число без корня, как в примере из учебника: 4−103=16−103(4+10)=24+10.
